Las mates molan: Todo sobre las ecuaciones

De manera más general, una ecuación tendrá la forma

$\displaystyle F(a) = G(b)$

donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso tendremos una ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación

$\displaystyle \sin (x) = \cos (x)$

tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de valores

$\displaystyle x = \pi/4, 5\pi/4, 2\pi+\pi/4 , 2\pi+5\pi/4, 4\pi+\pi/4, ...$

Uso de ecuaciones

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen al primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si establecemos una masa m = 1 Kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 Kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Historia

Antigüedad

Ya en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición".

Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los pioneros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.

Definición general

Dada una aplicación $f:A \rightarrow B$ y un elemento

b

del conjunto

B

, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos $x \in A$ que verifican la expresión: $\displaystyle f(x) = b$ . Al elemento $\textstyle x$ se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento $\textstyle a \in A$ que verifique $\textstyle f(a)=b$ .
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto $\textstyle A$ son funciones y la aplicación $\textstyle f$ debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma $\textstyle g(x)=h(x)$ , pues, si $\textstyle B$ es un grupo basta con definir la aplicación $\textstyle f(x)=g(x)-h(x)$ y la ecuación se transforma en $\textstyle f(x)=0$ .

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación $\displaystyle f(x) = b$ , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por $\textstyle S = f^{-1} (b)$ , donde $\textstyle f^{-1}$ es la imagen inversa de $\textstyle f$ . Si $\textstyle S$ es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: $\textstyle S$ puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si $\textstyle S$ tiene más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Casos particulares

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso $\textstyle A \subseteq \mathbb{Z}$ . Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando $\textstyle A$ es un cuerpo y

f

un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto $\textstyle A$ es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.

Existencia de soluciones

En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto

A

tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tiene solución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.

] Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

Ecuaciones algebraicas
- Polinómicas o polinomiales
- De primer grado o lineales
- De segundo grado o cuadráticas
- Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios
- Trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.
- Diofánticas o diofantinas
Ecuaciones diferenciales
- Ordinarias
- En derivadas parciales
Ecuaciones integrales

Ecuación polinómica

Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

$x^3y+4x-y=5-2xy \,\!$

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

$x^3y+2xy+4x-y-5=0 \,\!$

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

$2x^3-5x^2+4x+9=0 \,\!$

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

$ax+b=0\,$

con a diferente de cero.
Su solución es sencilla: $\, x = - b /a$

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.
Dada la ecuación:

$9x-9+108x-6x-92=16x+28+396 \,$

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:

$9x+108x-6x-16x=28+396+9+92 \,$

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro: $\, 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x$
Y simplificamos el segundo miembro: $\, 28+396+9+92 = 525$
La ecuación simplificada será:

$95x = 525 \,$

Despeje

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que está multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica, por ejemplo no es evidente que 3^x = y pueda despejarse por x = log₃y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre que apliquemos una función inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.
En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

$x=525/95 \,$

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:

$x=105/19 \,$

Ejemplo de problema

Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:

$x+3=2x-2 \,$

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?
La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

$x-2x=-2-3 \,$

Que, simplificado, resulta:

$-x=-5\,$

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

$x=5 \,$

El problema está resuelto.

Ecuación de segundo grado

Artículo principal: Ecuación de segundo grado

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

$ax^2+bx+c=0 \,$

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación se plantea sobre $\scriptstyle \mathbb{C}$ siempre se tienen dos soluciones:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales $\scriptstyle \R$ se requiere que $\scriptstyle b^2 \ge 4ac$ y para que tenga soluciones sobre los números racionales $\scriptstyle \mathbb{Q}$ se requiere $\scriptstyle b^2-4ac \in \mathbb{Q}^+$ .

Operaciones admisibles en una ecuación

Frecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre las operaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:

Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.
Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.
Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.

Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:

Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener un conjunto de soluciones más grande que la original.

Tipos de ecuación algebraica

Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.

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martes, 10 de enero de 2012

Todo sobre las ecuaciones